История аксиоматического метода
Платон — один из величайших мыслителей античности
Формирование сегодняшней интерпретации сущности аксиоматической теории происходило на протяжении двух десятилетий становления науки.
Знаменитый мыслитель античности Платон (427–347 гг. До н.э.) одним из первых поставил перед собой цель организовать все научные знания с помощью дедукции.
Работы и сочинения, связанные с геометрией, начали появляться задолго до Платона, например, учебники Гиппократа Хиосского, Демокрита.
Однако только он предлагал ставить во главу угла любой науки ключевые концепции, на основе которых будут делаться новые открытия.
К сожалению, эта структура в его произведениях прослеживается очень нечетко и нечетко, ее особенности только угадываются в его творчестве, созданном, кстати, на мистической основе.
Наследники Платона
Другой античный ученый — Аристотель
Великий Аристотель стал учеником Платона, сумевшего преодолеть эти суеверия.
Он снял прикрытие с намерений своего учителя: требований рационализации любой науки, собрал в себе почти все отрасли науки.
Считается, что Аристотель стал основоположником научного метода, а также некоторых наук.
Согласно его трудам, наука — это не что иное, как набор диспозиций, принадлежащих той или иной области знания. Эти схемы также включают те, которые настолько очевидны, что их не нужно доказывать: аксиомы.
Остальные предложения, которые следует вывести из аксиом, являются теоремами. Эта концепция была принята им главным образом как руководство по математике. Кстати, в «Началах», появившихся всего полвека спустя, отчетливо прослеживается отпечаток концепции Аристотеля.
Более двух тысяч лет работы Евклида были, по сути, непревзойденным учебником для геодезистов всего мира. Этот очерк стал первой научной книгой в истории.
Здесь геометрия была полностью представлена как аксиоматическая теория, построенная на принципах, сформулированных Аристотелем и Платоном.
Пятый постулат Евклида
Тех, кто изучал систему Евклида, больше интересовал пятый постулат:
Если линия, падающая на две прямые, образует внутренние углы меньше двух линий с одной стороны, то эти бесконечно протяженные линии встретятся на той стороне, где углы меньше двух линий.
Сложность этой формулировки по сравнению с остальными постулатами натолкнула ученых на мысль доказать это утверждение и тем самым исключить его из списка постулатов.
Подобные разработки безуспешно вели Посидоний (I век до н.э.), Санкери и Ламберт (оба — XVIII).
Это была настоящая евклидова эпоха в истории геометрии, эпоха его последователей и последователей, эпоха, когда вся геометрическая наука строилась на наивно-аксиоматическом принципе.
После столетий безуспешных попыток доказать пятую аксиому Евклида эта эпоха закончилась, оставив после себя уникальный результат: открытие иного понимания самой геометрии в целом, аксиоматического метода ее изучения в частности.
В 1826 г на заседании математического факультета Казанского университета профессор Н. И. Лобачевский первым сообщил о великом открытии: «Теория параллельных прямых», в основе которого лежит пятый постулат.
Понимание смысла этой теории пришло не сразу — Лобачевский не только доказал независимость пятого постулата, но и вывел из этого факта, что наряду с евклидовой геометрией существует другая, для которой этот постулат неверен!
Более того, все это открыло совершенно иную точку зрения на саму сущность аксиоматики. «Верны только те утверждения, которые можно вывести из существующих аксиом с помощью логики», — сказал Лобачевский.
Помимо прочего, неевклидова геометрия доказала, что ученые ошибались, считая евклидову геометрию единственно возможной теорией пространства.
Как возникают аксиоматические теории
можно проследить два пути, по которым происходило формирование некоторых известных в математике аксиоматических теорий.
Первый способ можно охарактеризовать тем, что та или иная математическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимает характер аксиоматической теории. Точно так же аксиоматизация математических теорий, таких как арифметика (на основе системы аксиом Дж. Пеано), геометрия (на основе систем аксиом Д. Гильберта, Х. Вейля, М. Пиери и др.), Теория вероятностей (аксиоматика А. Н. Колмогорова) и т д
Второй путь возникновения аксиоматических теорий связан с процессом постепенного осознания глубокого внутреннего сходства основных черт, казалось бы, совершенно разных математических теорий, с попыткой выделить общие черты, чтобы построить аксиоматическую теорию, руководствуясь их. (Возможно, именно поэтому Д. Гильберт считал математику искусством называть разные вещи одним и тем же именем.) По-видимому, все алгебраические (аксиоматические) теории родились на этом пути, в основном теория групп, колец, полей и других алгебраических систем в целом или универсальная алгебра и т д
именно на этом пути появляется прекрасная возможность для взаимопроникновения методов одних математических наук в другие, а также возможность свободно интерпретировать исходные концепции и аксиомы аксиоматической теории, что открывает широкие перспективы для применения этих методов теории, и это один из мощных источников реальной силы математики как науки в целом.
Примеры аксиоматических теорий
Приведем примеры аксиоматических теорий, возникших по-разному.
Пример 26.1. Теория групп — одна из теорий, возникших на втором пути. Многие объекты были известны со многими общими характеристиками. Среди них, в частности: множество всех взаимно однозначных отображений набора на себя, рассматриваемых вместе с наложением отображений; множество всех целых чисел, рассматриваемых вместе с операцией сложения целых чисел; совокупность всех векторов плоскости, рассматриваемых вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначая каждый из этих сквозных наборов и каждую из сквозных операций (и называя его составом из элементов), мы обнаруживаем, что все три указанных объекта обладают следующими свойствами:
Для каждой и из композиции есть уникальный элемент, определяемый ;
Для любых и от ;
Внутри есть такой элемент, который есть у каждого из нас ;
Ибо ни один из них не такой, что .
Например, элемент, существование которого объявлено в свойстве, в случае — это тождественное отображение, в случае — целое число 0, в случае — нулевой вектор. В свойстве element есть обратное преобразование (противоположное число, противоположный вектор) для преобразования (целое число и вектор соответственно). Утверждения составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно вывести различные теоремы и, следовательно, построить аксиоматическую теорию групп. Докажем некоторые теоремы этой теории.
В группе ровно один элемент.
Пробный. В виду, необходимо продемонстрировать только уникальность. Предположим, есть два унитарных элемента в: и, т.е на основе любых равенств и истинны. Тогда, в частности, e. Следовательно, в силу и свойство равенства .
Для каждого элемента группы есть ровно один инверсный.
Пробный. В виду, осталось только доказать его уникальность. Предположим, что у элемента есть два обратных и, т.е таких элементов как и. Тогда в силу того, что мы имеем, а значит,. Далее следует, согласно этому .
В мультипликативной терминологии обратный элемент для обозначается как, так что, где — единственный унитарный элемент из .
Для всех элементов группы from и from следует .
Пробный. Позволять . А потом . На другой стороне,
Следовательно, . Второе утверждение демонстрируется аналогичным образом.
Следующие две теоремы докажите самостоятельно.
Для любого элемента и из каждого из уравнений и имеет единственное решение.
Для любого товара и у нас есть .
Пример 26.2. Как отмечалось в предыдущем абзаце, геометрия — это пример аксиоматической теории, возникшей на первом пути. Здесь мы рассматриваем ее небольшой фрагмент: теорию совпадения (равенства) отрезков. Мы согласны с тем, что основные термины — это — набор всех сегментов и — отношение, называемое отношением конгруэнтности, так что выражение читается так: сегмент конгруэнтен сегменту. В качестве аксиом мы выбираем следующие утверждения:
Для всего этого верно (другими словами, каждый сегмент конгруэнтен сам себе).
Для любого элемента из, if и, then (другими словами, два отрезка, отдельно конгруэнтные третьему, конгруэнтны друг другу).
Докажем несколько теорем.
Для любого элемента и из, если, то z .
Пробный. По аксиоме, подставляя, получаем, что если и, то. Поскольку сослагательный член истинен согласно аксиоме, его можно удалить из союза. Получим, если, то .
Для всех элементов from, if и then .
Докажите себе.
Пример 26.3. Аксиоматическая теория натуральных чисел была построена итальянским математиком Дж. Пеано (1858-1932) на рубеже XIX и XX веков. Его исходными концепциями являются: непустое множество, бинарная связь «» (называемая отношением преемственности) и отдельный элемент 1. Выбраны следующие аксиомы:
Аксиома называется аксиомой индукции. Правила вывода — это обычные логические правила modus ponens и правила подстановки.
Вот доказательства двух теорем, которые непосредственно следуют из этих аксиом.
Пробный. Рассмотрим в целом:. Докажем, используя аксиому индукции, что .
, поскольку по аксиоме .
Будь как будет. Итак, по аксиоме. Итак, по определению .
Условия аксиомы выполнены. Тогда по аксиоме имеем. Это означает, что .
Пробный. Рассмотрим множество: и покажем, используя аксиому индукции f> 4, что M = N.
по определению целого.
Оставьте и. Так, то есть для некоторых. Итак, с учетом аксиомы, получаем, то есть следует за элементом. Итак, по определению, элемент .
Условия аксиомы выполнены. Тогда по аксиоме имеем .
Аксиоматической теории натуральных чисел, построенной на основе редуцированной системы аксиом, много времени уделяется в курсе «Системы счисления», который изучается после курса математической логики.
Пример 26.4 (построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Гильберта). Эта система аксиом представлена Гильбертом в его книге «Основы геометрии», опубликованной в 1899 году и с тех пор стала вечной основой этой науки. Гильберт начинает свое эссе так: «Геометрия, как и арифметика, требует лишь нескольких простых основных принципов для своего построения. Эти основные принципы называются« аксиомами геометрии ». «Являясь предметом многочисленных замечательных работ математической литературы, задача сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.
В системе Гильберта исходными (неопределенными) понятиями являются понятия трех объектов — «точек», «прямых линий» и «плоскостей» и трех типов отношений между ними, выражаемых словами «принадлежит» (точка принадлежит объекту) прямая линия или плоскость), «между» (точка лежит между двумя другими точками) и «конгруэнтность» (два отрезка прямой или два угла совпадают). В этом случае указываются точки, линии -, плоскости -. Эти объекты и эти отношения между ними удовлетворяют двадцати аксиомам, разделенным на пять групп:
I. Аксиомы принадлежности (или инцидентности);
II. Аксиомы порядка;
III аксиомы конгруэнтности;
IV аксиомы непрерывности;
V. Аксиома евклидова параллелизма.
Пример 26.5 (построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля). Эта система была предложена немецким математиком Германом Вейлем в 1916 году, и способ построения геометрии на основе этой системы аксиом, возможно, является самым коротким и наиболее динамичным способом аксиоматизации геометрии. Более того, на этом пути одно из самых фундаментальных понятий современной математики входит в элементарную геометрию: понятие векторного пространства, которое чрезвычайно важно для его многочисленных приложений (в физике, химии, экономике и т.д.). Идея Вейля состоит в том, чтобы принять в качестве исходных неопределенных понятий понятия «точка», «вектор» (в частности, определены понятия «линия» и «плоскость»), «сумма векторов», «произведение вектора на a число »,« скалярное произведение векторов »,« отложить вектор на точку », а в качестве аксиом — свойства этих операций над векторами и некоторые свойства, соединяющие точки и векторы.
С логической точки зрения, способ аксиоматизации Вейля эквивалентен гильбертову: он позволяет нам доказывать все те же теоремы. Но с методологической точки зрения путь Вейля имеет ряд преимуществ. Вместо кропотливых и скучных рассуждений по схеме Гильберта, путь Вейля дает ясное и краткое изложение, насыщенное современными идеями и мощными методами решения геометрических задач.
Система аксиом Вейля включает 16 аксиом, которые четко разделены на две части: аксиомы векторного пространства (евклидова) и аксиомы точечного пространства в его связи с векторным пространством. Здесь важно отметить, что концепция n-мерного векторного пространства без преувеличения играет фундаментальную роль во всех областях современной математики и смежных наук. Он также изучался в курсе алгебры и в курсе математического анализа. Его роль в геометрии также чрезвычайно важна. Геометрия изучает точки и формы — наборы точек (но не векторы, с которыми имеет дело векторное пространство). Точечное понятие — следующее неопределенное понятие. Точки и векторы — это объекты разной природы, но они тесно связаны друг с другом. Эта связь выражается во второй части аксиом — аксиомах точечного пространства Вейля. Существует отображение, которое связывает любые две точки и (в указанном порядке) вектор из векторного пространства, обозначенный значком. Это отображение должно удовлетворять следующим аксиомам:
Первая из этих аксиом называется аксиомой постического вектора: любой вектор может быть отложен на любую точку. Вторая аксиома утверждает, что это осаждение происходит уникальным образом: заданная начальная точка и вектор однозначно определяют конечную точку. Наконец, третья аксиома называется аксиомой треугольника.
Таким образом, векторное пространство (векторное пространство) и точечное пространство (точечное пространство) — это разные, но тесно связанные объекты. Говорят, что пространство точек рассматривается (или задается) на векторном пространстве и что векторное пространство является пространством трансляции соответствующего точечного пространства. Если векторное пространство неевклидово (т.е в нем не указано скалярное произведение), то соответствующее точечное пространство указывается и называется аффинным. Если векторное пространство евклидово (содержит скалярное произведение векторов), то соответствующее точечное пространство указывается и называется евклидовым точечным пространством.
Следовательно, система аксиом векторного пространства вместе с аксиомами является системой аксиом евклидовой геометрии по Герману Вейлю. Все дальнейшие понятия (такие как: прямая линия, плоскость и т.д.) вводятся с использованием определений, основанных на уже введенных исходных понятиях, т. Е. Они являются определяемыми, второстепенными. Все теоремы о первичных и вторичных понятиях доказываются на основе сформулированных аксиом (конечно, с использованием уже доказанных теорем). Более того, с точки зрения логики принципиально то, что любая аксиома системы аксиом Гильберта оказывается теоремой в подходе Вейля к основам геометрии. Отсюда следует, что любую теорему евклидовой геометрии, выведенную из системы аксиом Гильберта, можно также вывести из системы аксиом Вейля (к выводу теоремы из системы аксиом Гильберта нужно сначала добавить выводы необходимых аксиом Гильберта аксиом Вейля) . Обратное также верно. Тот факт, что каждое утверждение о векторах происходит из системы аксиом Гильберта, которую Вейль принял за аксиому, действительно демонстрируется в различных курсах элементарной математики, в которых понятие вектора отводится второстепенному. Отсюда следует, что любую теорему евклидовой геометрии, выведенную из системы аксиом Вейля, можно также вывести из системы аксиом Гильберта. Таким образом, системы аксиом Гильберта и Вейля эквивалентны: на основе каждой из них могут быть доказаны одни и те же теоремы евклидовой геометрии.
Пример 26.6. Геометрию Лобачевского можно построить, например, на основе системы аксиом евклидовой геометрии Гильберта, упомянутой в примере 26.4, если в этой системе аксиому евклидовых параллелей заменить аксиомой параллелей Лобачевского, что является отрицанием аксиомы евклидовой параллели.
Пример 26.7 (аксиоматическое построение канторовской («наивной») теории множеств на основе различных систем аксиом). Читатель, знакомый с основами современной алгебры, узнает в приводимых системах аксиом аксиомы так называемой «булевой алгебры», поскольку совокупность всех подмножеств данного множества образует алгебраическую систему, называемую булевой алгеброй. Всего мы рассмотрим три системы аксиом.
Исходными понятиями теории являются бинарные операции (называемые соответственно пересечением и объединением), унарные операции (называемые дополнением) и нулевые операции 0 и 1, которые фиксируют два разных элемента: ноль и один. Система аксиом этой теории симметрична относительно операций (или, как говорят, самодуальна):
Исходными понятиями второй теории являются бинарная операция и унарная операция. Вместо этого система аксиом этой теории асимметрична, «сдвинута» в сторону операции
Наконец, в третьей теории, где исходными понятиями являются бинарное отношение, бинарные операции и, унарная операция и нулевые операции 0 и 1, система аксиом выглядит следующим образом:
можно доказать эквивалентность всех трех систем аксиом.